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二次函数图像与性质

二次函数 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的图像是一条抛物线。其开口方向由 a 决定，对称轴为 x = -b/(2a)，顶点是函数最值点。掌握这一组性质，是处理后续二次函数应用题、中考压轴 · 函数综合的基础。

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1 · 开口方向

将函数写成一般式 y = ax² + bx + c 后，a 决定开口方向：

进一步的几何意义见函数图像变换—— a 也控制了抛物线相对于 y = x² 的纵向拉伸/翻转。

抛物线是轴对称图形，其对称轴是一条平行于 y 轴的直线，方程为：

x = − b / (2a)

对称轴是连接顶点与 函数最值 的关键。一旦确定对称轴位置，就能用轴对称性质，由抛物线上任一点反推另一点的坐标。

顶点是抛物线的最高点或最低点，对应函数的最值。一般式下顶点坐标公式：

( − b/(2a), (4ac − b²) / (4a) )

实际教学中，更推荐先把函数配方为顶点式 y = a(x − h)² + k，则顶点直接是 (h, k)。配方法见一元二次方程综合 · 配方法。

以对称轴 x = -b/(2a) 为界，函数的单调性如下：

易错点（八(3)班上学期错题统计）：学生常忽略对称轴随参数 m 在变化这一前提，把 m 当作已知数代入。详见八(3)班·错题精选。

令 x = 0，得 y 轴交点 (0, c)；令 y = 0，方程 ax² + bx + c = 0 的根即为 x 轴交点的横坐标，个数由判别式 Δ = b² − 4ac 决定：

这与一元二次方程的根的情况一一对应—— "图像看 Δ"是处理函数与方程综合题的标准套路。

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